polinomial

Polinomial

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

X^5+ 2x^4+3x^3+ 2x^2 -5x +3

Contoh bukan polinomial
F(x)=x¼+4x½+6x

Terdapat beberapa cara dalam menyelesaikan soal polinomial

  1.penjumlahan 
  Contoh:

     F(x)=17x^7+9x^6+6x^4+10x^3+8x+5

    g (x)=9x^7+8x^4+x^3-7x-8

        =(17x^7+9x^6+6x^4+10x^3+8x+5)+

    (9x^7+8x^4+x^3-7x-8)

    =17x^7+9x^7+9x^6+6x^4+10x^3+8x-7x-9

2.pengurangan 
Contoh:
 F(x)=7x^9+4x^5+10x^2+12x+12
 G(x)= 6x^5+9x^2+7x-5
 =7(x^9+4x^5+10x^2+12x+12)-(6x^5+9x^2+7x-5)
 =7x^9-4x^5-6x^5-10x^2-9x^2-12-7x-12+5
=7x^9-10x^5-19x^2-19x+3

3.perkalian
Contoh:
 F(x)= 6x^5-7x^2+7
 G(x)= 4x^5+9
 = (6x^5-7x^2+7)(4x^5+9)
 =24x^10+54x^5-32x^7-63x^2+28x+63

4. Teori subtitusi

       Contoh :

  F(4) = 4x³+2x²-x+6

          = 4(4)³+2(4)²-4+6

          = 32+16+2
          = 50
     

          

5. Teori horner

• buat tabel horner

 • samakan koefisiensi berurutan

     Contoh

4x³-3x²+8x-4 : x-1

         

        

             

4x²+x+9

 Algoritma pembagia

 F(x) = p(x) .h(x)+ s(x)

 P(x) = pembagi

 h(x) = hasil

 s(x) = sisa

Fungsi plinomial : pembagian polinomial hasil bagi polinomial + sisa polinomial

 Cara :

 1. Cara bersusun

 2. Teori horner

Contoh soal :

X⁴+X³-2x²+x-5 : X-2

     a.cara bersusun

          

Algoritma Pembuktian

X⁴+X³-2x²+x-5 =( X-2) (X³+2x²+2x+5 )+5

( X-2) (X³+2x²+2x+5 )+5

= x⁴+2x²+2x+5x-2x³-4x²-4x² -4x² -4x-10+5

= x⁴-2x+x-5 (terbukti)

b.teori horner

    

                       X³+2x²+2x+5

Teorema faktor

  F(x)= p(x).h(x)+s(x)

Jika suatu algoritma pembagi di uraikan dan hasil s(x) atau sisa bernilai 0 maka itulah faktornya.

Contoh soal

1. 2x²-2x-4 : x+1

                  

2x²-2x-4 = ( x+1) (2x-4)+0

X+1=0           2x-4= 0

 X= -1              x= 2

Hp{-1,2)

   2.             

                 

(X-4)

X=4. (X³-x²-24x-36)

           

               

(X+2)

X=-2     (x²-3x-18)

             (X+3) (x-6)

       X=-3.          X=6

Hp{-3,-2,4,6}

Logaritma

 f(x)= (x-4)(x+2)(x+3)(x-6)

          =x⁴-3x³-18x²-2x³+6x²+36x-8x²+24x+144

    f(x )=x⁴-5x³-20x²+60x+144

     

Teorema sisa

Teorema sisa terdiri dari 3 terema

1.     Terema sisa 1

pernyataan yang di buktikan banyak f(x) : x-k maka akan tersisa f(k) atau f(x)  bersisa f(x) (x-k)

    Cara

     1.teori horner

     2. Bersusun

     3.subtitusi

Contoh soal : f(x) = x⁴+3x³-2x²+x-5 : x-2

                         
1.horner
          

X³+5x²+8x+17

  2.subtitusi

  F(x) = 2⁴+3(2)³-2(2)²+2-5

        = 16+ 24 -8 +2 -5

        = 42 -13

        =29

                   

   3.bersusun

      
2.teorema sisa dua

Jika suku banyak f(x) :a(x) - b maka akan tersisa f(b/a)

Cara :

1.subtitusi

2.horner

3. Bersusun

 Contoh soal :

2x7 -x5+7x²+5x-3 : 2x+1

#cara bersusun   

         

Dan di buktikan dengan teori horner dan subtitusi jika hasil nya sama berarti terbukti

3. Teorema sisa 3

   Jika suatu suku banyak f(x) : (x-a) (x-b) maka sisanya adalah p(x)+q dimana p(a) =p(a)+q  dan f(b) =p(b)+q

Contoh soal

 X³-2x²+x+1 : x²-3x+2

Jawab

#mempaktorkan

 X²-3x +3

(X-1)(x-2)

a=1

b=2

F(a)= x³-2x²+x+1

F(1)= (1)³-2(1)²+(1)+1

  =1

F(b)=b³+2(b)²+(b)+1

 F(2)=(2)²-2(2)²+(2)+1

        =3

#Teorema sisa

F(a)=p(a)+q

 F(1)=p(1)+q

        =1p+q

     1=1p+q

F(b)= p(b)+q

F(2)=p(2)+q

        =2p+q

    3= 2p+q

#Metode eliminasi

1p+q=1

2p+q=3

-p      =-2

     P=-2/-1

     P=2

#Metode subtitusi

P+q=1

2+q=1

    q=-1

    q=1-2

• sisa pembagian

  Px+q

   2x-1

Pembuktian menggunakan cara bersusun